Real Time system

그 전 포스팅까지는 이산적인 상황에서의 eigen value, eigen vector의 개념을 소개하고 이 식이 발산하는지 수렴하는지에 대해 알아보았다. 그러나 대부분의 상황은 discrete 한 상황이 아니라 continuous 한 상황이 대부분이다. 

continuous 한 상황은 사실 discrete 한 상황과 비슷하지만 발산과 수렴의 조건에 대해선 조금 다르다.

 

## 미분 방정식

일단 미분 방정식에 대해서 살펴보자. 예시를 통해 살펴보자

$$\frac{d}{dt}x(t)=12-3x(t),x(0)=9$$

와 같이 함수 x(t)와 그 함수에 대한 미분 $\frac{d}{dt}x(t)$를 포함하는 등식을 보고 이 등식이 성립하는 함수 x(t)를 구하는 것이다. 

간단하게 위 식에 대한 미분 방정식을 풀어보자.

y = x(t)로 치환하고 풀어보자. 그러면 $\frac{dy}{dt}=12-3y$ 가 된다. 여기서 양변에 $e^{3t}$를 곱해준다.

그러면 식을 다음과 같이 쓸 수 있다. $\frac{dy}{dt}{e}^{\int 3dt}+3y{e}^{3t}=12e^{3t}$ 가 된다. 이런 식으로 정리한 이유는 다음과 같이 쓰기 위함이다.

$$\frac{d}{dx}(e^{\int f(x)dx})=f(x)e^{\int f(x)dx}$$

이 꼴로 만들어서 풀기 위함이다.

따라서 $\frac{dy}{dt}{e}^{\int 3dt}+3y{e}^{3t}=12e^{3t}$  이 식을 고쳐쓰면 $\frac{d}{dt}(y{e}^{3t})=12e^{3t}$가 된다. 따라서 이를 적분하면 $y{e}^{3t}=12\int e^{3t}dt$ 가 되고 $y{e}^{3t}=4e^{3t}+C$가 된다. 여기서 t = 0 일 때 y = 9 이므로 9 = 4+C, C = 5 가 되므로 결국 $x(t)=5e^{-3t}+4$ 로 해가 나오게 된다.

이러한 식을 하나의 예시로 풀어 쓰면

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수로에 배가 있는데, 수로의 위치 x에서 유속은 12-3x 라고 하자. 그럼 여기서 시간이 0일 때 위치는 9이다. 그럼 t 시점에서 수로의 위치는 어디에 있을까?

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이 문제랑 동일한 것이다. 여기서 유속은 $\frac{dx}{dt}=12-3x(t)$로 나타낼 수 있다.

이러한 미분 방정식을 행렬의 개념을 이용해서 풀어보자

## 1차원 미분방정식

예를 들어 $\frac{d}{dt}x(t)=7x(t)$ 라고 하자. 이 식의 해는 $x(t)=e^{7t}x(0)$ 이다. 그러면 여기서 7이라는 임의의 scalar값 대신 a라는 scalar 변수로 놓고 생각해보자. 그러면 식은 $\frac{d}{dt}x(t)=ax(t)$ 가 되고 해는  $x(t)=e^{at}x(0)$ 가 된다. 이러면 지수함수의 꼴이 된다. 그러면 이와 같은 경우는 a 값에 따라서 달라진다. 만약에 a가 0보다 크면 발산하고, a가 0보다 작거나 같으면 수렴하게 된다. (기본적인 지수함수 이므로 생략)

 

## 대각행렬일 경우

다음은 다차원 미분 방정식일 경우를 알아보겠다. 사실 일차원이나 다차원이나 큰 차이가 없다.

예를 들어 다음과 같은 식이 있다고 해보자

$$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& -8\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)$$

사실 이를 정리하면 간단한 식으로 풀린다.

$$\left(\begin{array}{c}\frac{d}{dx}{x}_1(t)\\ \frac{d}{dx}{x}_2(t)\\ \frac{d}{dx}{x}_3(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5x_1(t)\\ 3x_2(t)\\ -8x_3(t)\end{array}\right)$$

즉 이 미분 방정식은 

$$\{\begin{array}{l}{x}_1(t)=x_1(0)e^{5t}\\ x_2(t)=x_2(0)e^{3t}\\ x_3(t)=x_3(0)e^{-8t}\end{array}$$

처럼 풀린다. 만약 여기서 t가 infinity로 수렴하는 경우 $x_1(0),x_2(0)$ 이 0 이 아닌 한 x(t) 는 발산하게 된다. 

이렇게 대각행렬일 경우는 쉽게 수렴과 발산 여부를 알 수 있다. 또한, 앞서 언급했듯이 $\frac{d}{dt}x(t)=ax(t)$ 인 꼴을 가지면 미분 방정식의 해는 $x(t)=e^{at}$ 를 갖기 때문에 쉽게 계산이 가능하다.

 

## 대각화할 수 있는 경우

방금 구한 경우처럼 결국 대각 행렬로 만들면 모든 쉽게 풀리게 된다. 따라서 $x(t)=Py(t)$ 형태로 만들어야한다. 

이 때 미분방정식 dx/dt = Ax(t) 를 변환시키면

$$\frac{d}{dt}y(t)=\frac{d}{dt}(P^{-1}x(t))=P^{-1}\frac{d}{dt}x(t)=P^{-1}Ax(t)=P^{-1}A(Py(t))=(P^{-1}AP)y(t)$$

처럼 변환이 되고 여기서 y로 보면 

$$\frac{d}{dt}y(t)=\mathrm{\Lambda }y(t)\mathrm{\Lambda }=P^{-1}AP$$

으로 바뀐다. 이와 같은 경우는 이산적인 경우와 동일하게 풀면 된다.

 

## 결론

결국 대각화로 행렬을 만들고 미분 방정식을 풀면 행렬의 수렴과 발산을 판단할 수 있다. 따라서 대각화 할 수 있는 경우의 eigen value 의 값이 양수이면 발산하는 형태를 가지고, 아니면 수렴하는 형태를 가진다.