Real Time system

그 전 포스팅까지는 이산적인 상황에서의 eigen value, eigen vector의 개념을 소개하고 이 식이 발산하는지 수렴하는지에 대해 알아보았다. 그러나 대부분의 상황은 discrete 한 상황이 아니라 continuous 한 상황이 대부분이다. 

continuous 한 상황은 사실 discrete 한 상황과 비슷하지만 발산과 수렴의 조건에 대해선 조금 다르다.

 

## 미분 방정식

일단 미분 방정식에 대해서 살펴보자. 예시를 통해 살펴보자

$$ \frac{d}{dt} x(t) = 12-3x(t), x(0) = 9 $$

와 같이 함수 x(t)와 그 함수에 대한 미분 \( \frac{d}{dt}x(t) \)를 포함하는 등식을 보고 이 등식이 성립하는 함수 x(t)를 구하는 것이다. 

간단하게 위 식에 대한 미분 방정식을 풀어보자.

y = x(t)로 치환하고 풀어보자. 그러면 \( \frac{dy}{dt} = 12 - 3y \) 가 된다. 여기서 양변에 \( e^{3t} \)를 곱해준다.

그러면 식을 다음과 같이 쓸 수 있다. \( \frac{dy}{dt} e^{\int 3 \ dt} + 3ye^{3t} = 12e^{3t} \) 가 된다. 이런 식으로 정리한 이유는 다음과 같이 쓰기 위함이다.

$$ \frac{d}{dx} ( e^{\int f(x) \ dx} ) = f(x)  e^{\int f(x) \ dx} $$

이 꼴로 만들어서 풀기 위함이다.

따라서 \( \frac{dy}{dt} e^{\int 3 \ dt} + 3ye^{3t} = 12e^{3t} \)  이 식을 고쳐쓰면 \( \frac{d}{dt}(ye^{3t}) = 12e^{3t} \)가 된다. 따라서 이를 적분하면 \( ye^{3t} = 12 \int e^{3t} \ dt \) 가 되고 \(  ye^{3t} = 4e^{3t} + C \)가 된다. 여기서 t = 0 일 때 y = 9 이므로 9 = 4+C, C = 5 가 되므로 결국 \( x(t) = 5e^{-3t} + 4 \) 로 해가 나오게 된다.

이러한 식을 하나의 예시로 풀어 쓰면

---

수로에 배가 있는데, 수로의 위치 x에서 유속은 12-3x 라고 하자. 그럼 여기서 시간이 0일 때 위치는 9이다. 그럼 t 시점에서 수로의 위치는 어디에 있을까?

---

이 문제랑 동일한 것이다. 여기서 유속은 \( \frac{dx}{dt} = 12-3x(t) \)로 나타낼 수 있다.

이러한 미분 방정식을 행렬의 개념을 이용해서 풀어보자

## 1차원 미분방정식

예를 들어 \( \frac{d}{dt} x(t) = 7x(t) \) 라고 하자. 이 식의 해는 \( x(t) = e^{7t} x(0) \) 이다. 그러면 여기서 7이라는 임의의 scalar값 대신 a라는 scalar 변수로 놓고 생각해보자. 그러면 식은 \( \frac{d}{dt} x(t) = ax(t) \) 가 되고 해는  \( x(t) = e^{at} x(0) \) 가 된다. 이러면 지수함수의 꼴이 된다. 그러면 이와 같은 경우는 a 값에 따라서 달라진다. 만약에 a가 0보다 크면 발산하고, a가 0보다 작거나 같으면 수렴하게 된다. (기본적인 지수함수 이므로 생략)

 

## 대각행렬일 경우

다음은 다차원 미분 방정식일 경우를 알아보겠다. 사실 일차원이나 다차원이나 큰 차이가 없다.

예를 들어 다음과 같은 식이 있다고 해보자

$$ \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \\ x_3 (t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 (t) \\ x_2 (t) \\ x_3(t) \end{pmatrix} $$

사실 이를 정리하면 간단한 식으로 풀린다.

$$ \begin{pmatrix} \frac{d}{dx} x_1 (t) \\ \frac{d}{dx} x_2 (t) \\ \frac{d}{dx} x_3 (t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5x_1 (t) \\ 3 x_2 (t) \\ -8 x_3 (t) \end{pmatrix} $$

즉 이 미분 방정식은 

$$ \begin{cases} x_1(t) = x_1 (0) e^{5t} \\ x_2(t) = x_2 (0) e^{3t} \\ x_3 (t) = x_3 (0) e ^{-8t} \end{cases} $$

처럼 풀린다. 만약 여기서 t가 infinity로 수렴하는 경우 \( x_1(0), x_2(0) \) 이 0 이 아닌 한 x(t) 는 발산하게 된다. 

이렇게 대각행렬일 경우는 쉽게 수렴과 발산 여부를 알 수 있다. 또한, 앞서 언급했듯이 \( \frac{d}{dt}x(t) = ax(t) \) 인 꼴을 가지면 미분 방정식의 해는 \( x(t) = e^{at} \) 를 갖기 때문에 쉽게 계산이 가능하다.

 

## 대각화할 수 있는 경우

방금 구한 경우처럼 결국 대각 행렬로 만들면 모든 쉽게 풀리게 된다. 따라서 \( x(t) = Py(t) \) 형태로 만들어야한다. 

이 때 미분방정식 dx/dt = Ax(t) 를 변환시키면

$$ \frac{d}{dt}y(t) = \frac{d}{dt}(P^{-1} x(t) ) = P^{-1} \frac{d}{dt} x(t) = P^{-1} A x(t) = P^{-1}A(Py(t)) = (P^{-1}AP )y(t) $$

처럼 변환이 되고 여기서 y로 보면 

$$ \frac{d}{dt}y(t) = \Lambda y(t) \ \ \ \ \ \ \Lambda = P^{-1}AP $$

으로 바뀐다. 이와 같은 경우는 이산적인 경우와 동일하게 풀면 된다.

 

## 결론

결국 대각화로 행렬을 만들고 미분 방정식을 풀면 행렬의 수렴과 발산을 판단할 수 있다. 따라서 대각화 할 수 있는 경우의 eigen value 의 값이 양수이면 발산하는 형태를 가지고, 아니면 수렴하는 형태를 가진다.